teoria dei numeri

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Casella di testo: Pubblicazione del 17-05-2008 Teoria dei numeri La teoria dei numeri (o aritmetica superiore ) si occupa dello studio dei numeri naturali: N = 0,1,2,3,4,5,6,… Spesso tale studio si estende a tutti gli interi e a volte sconfina nei numeri razionali. Contrariamente a quanto si possa pensare, lo studio di questa materia non si esaurisce nei primi anni di scuola, ma continua a livello professionale e sembra non esaurirsi mai. Ci sono molti problemi sui numeri interi, e in particolare sui numeri primi, ancora non risolti, nonostante che su di essi si siano impegnate le menti più eccelse della matematica. La fama popolare di illustri matematici è legata ai problemi di aritmetica da loro affrontati e non sempre risolti. Ricordiamone alcuni. Tra i moderni: Gauss, Fermat, Riemann; tra gli antichi greci: Euclide, Diofanto, Pitagora; tra gli Italiani: Fibonacci, Bombieri. Citiamo Gauss: “La grande difficoltà che spesso si è incontrata nel dimostrare semplici teoremi dà all’aritmetica superiore quel magico fascino che l’ha resa la scienza preferita dai più grandi matematici.” Quanti sono i numeri primi? Tra tutti i numeri naturali acquistano un posto particolare quelli primi, cioè quelli che non si possono ottenere come prodotto di altri numeri interi, non considerando 1 come loro fattore. Occupandoci dei numeri primi, una domanda che inevitabilmente ci si pone è quella di stabilire quanti sono. E’ possibile che da un certo punto in poi, nella sequenza dei numeri naturali, non ci siano più altri numeri primi, oltre a quelli già trovati? Una brillante soluzione a questo dilemma è stata data fin dall’antichità da Euclide, vediamola. (Chi pensa di essere una insignificante unità tra miliardi di persone, si rincuori vedendo quanto sia determinante una sola unità nella dimostrazione seguente) Supponiamo che i numeri primi non siano infiniti, ma soltanto: p1, p2 ,…., pn Sia M il numero ottenuto moltiplicando tra di loro tutti i numeri primi: M = p1p2 …. pn Aggiungiamo 1 ad M e poniamo: G = M + 1 G = p1p2 …. Pn + 1 Ci chiediamo: G è primo o multiplo? Se abbiamo supposto di avere esaurito tutti i numeri primi, dovremmo rispondere che G è multiplo. Ma se G è multiplo sarà divisibile per un numero primo p, che necessariamente sarà uno dei fattori primi di M. Dividiamo per p: G/p = M/p+1/p Da qui risulta però che p non è divisore di G, altrimenti sarebbe divisore anche di 1. Poiché siamo caduti in contraddizione, la nostra ipotesi non può essere vera, i numeri primi sono infiniti. (In seguito dimostreremo che i numeri primi non solo sono infiniti, ma che è possibile associare ad ogni intero n, della successione dei numeri naturale, uno o più numeri primi, sempre diversi da quelli trovati precedentemente.) Riflettiamo sul teorema appena dimostrato con qualche esempio pratico. Dati i numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 , facciamoci qualche domanda. Moltiplicando alcuni di essi in successione, cominciando dal più piccolo, e aggiungendo 1, il numero G che si ottiene è un numero primo? Se ci affrettassimo nella risposta, potremmo essere indotti dal teorema di Euclide a concludere, in modo sbagliato, con una risposta affermativa. Del resto, avendo a disposizione un numero limitato di numeri primi, possiamo fare delle prove pratiche che ci aiutino nei nostri ragionamenti. 2·3+1 = 7 primo 2·3·5+1 = 31 primo 2·3·5·7+1 = 211 primo 2·3·5·7·11+1 = 2311 primo 2·3·5·7·11·13+1 = 30031 (30031=59·509) 2·3·5·7·11·13·17+1 = 510511 (510511 = 19·97·277) 2·3·5·7·11·13·17·19+1 = 9699691 (9699691=347·27953) 2·3·5·7·11·13·17·19·23+1 = 223092871 (223092871=317·703763) 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29+1 = 6469693231 (6469693231=331·571·34231) 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31+1 = 200560490131 primo Nel caso in cui ci fossimo fermati ai primi 4 risultati la risposta affermativa sarebbe risultata vera; continuando, però, ci saremmo ricreduti, perché 30031 non è un numero primo! Il teorema di Euclide infatti non dice che G è primo e neppure che è multiplo, dimostra invece che: - se G è primo, esso è diverso da tutti i numeri primi che erroneamente si supponevano presi nella loro totalità; - se G è multiplo, i suoi fattori primi sono necessariamente tutti diversi dai fattori primi p1, p2 ,…., pn di M. In entrambi i casi comunque ci dobbiamo convincere che, oltre a tutti quelli che possiamo pensare di utilizzare per ottenere M, ci saranno sicuramente ancora degli altri numeri primi. Il concetto espresso nel nostro caso è quello di infinito potenziale. Il concetto di infinito è complesso e richiede una trattazione particolareggiata. La distinzione tra i vari tipi di infinito è spiegata bene nelle pagine Web del nostro amico Maurizio Codogno all’indirizzo: http://xmau.com/mate/art/infinito.html